涉嫌贩毒的犯罪嫌疑人被刑事拘留的最长期限是 不超过37天。具体拘留期限如下：
1. 一般情况下，刑事拘留的最长期限为14天。
2. 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，最长拘留期限为37天。
3. 公安机关认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日内提请人民检察院审查批准，特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
4. 人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
因此，综合上述规定，涉嫌贩毒的犯罪嫌疑人被刑事拘留的最长期限为37天，包括提请逮捕的30天和检察院审查批准的7天。如果在这期限内没有批准逮捕，则应当释放被拘留人。
建议：
犯罪嫌疑人及其家属应密切关注拘留期限，及时与律师沟通，了解案件进展并采取相应措施。
检察院在审查逮捕时，会综合考虑案件的具体情节和犯罪嫌疑人的社会危险性，作出是否批捕的决定。
